Sitzung 3 ūĚĎß-Werte und Normalverteilung

Lernziele dieser Sitzung

Sie können…

  • \(z\)-Werte ermitteln.
  • Merkmale der Normalverteilung wiedergeben.
  • anhand einer normalverteilten Dichtefunktion‚Ķ
    • Wahrscheinlichkeiten errechnen.
    • Perzentile errechnen.

3.1 Variationskoeffizient

Die Berechnung von Ma√üzahlen (Sitzung¬†2) vereinfacht es uns, auch gro√üe Verteilungen miteinander zu vergleichen. Voraussetzung daf√ľr ist jedoch, dass die Kennwerte (wie arithmetisches Mittel, Standardabweichung) in derselben Ma√üeinheit (kg, cm, ¬įC, etc.) vorliegen und einen vergleichbaren Ma√üstab haben.

Eine M√∂glichkeit, unabh√§ngig hiervon eine Aussage √ľber die relative Streuung zu treffen, ist der Variationskoeffizient (engl. coefficient of variation) \(v\). Er ist definiert als das (prozentuale) Verh√§ltnis von Standardabweichung zu Mittelwert:

\[\begin{aligned} v=\frac{s}{|\bar{x}|}\cdot 100\% \end{aligned} \tag{3.1} \]

Zur Illustration: An zufälligen Tagen hat die Wetterstation auf dem Feldberg folgende Luftdruckwerte gemessen (in hPa):

1007,1  1003,4   990,7   994,2  1000,9   993,0  1016,0   983,9  1007,4   997,8  
 997,9  1000,2

Mit den bekannten Methoden (Sitzung 2) können wir das arithmetische Mittel \(\bar{x}\approx 999,37\) und die Standardabweichung \(s\approx8,56\) der Stichprobe bestimmen. Durch einsetzen dieser Werte in Formel (3.1) ergibt sich:

\[\begin{aligned} v&\approx\frac{8{,}56}{999{,}37}\cdot 100\%\\[4pt] &\approx0{,}86\% \end{aligned} \]

Da die Standardabweichung im Vergleich zu den absoluten Werten sehr klein ist, ist der Variationskoeffizient hier sehr klein.

Ein Problem ergibt sich, wenn der Mittelwert einer Verteilung nahe Null liegt (z. B. wenn die Reihe auch negative Messwerte enthält). Der Variationskoeffizient wird in diesem Fall sehr groß und verliert stark an Aussagekraft.

3.2 ūĚĎß-Transformation

Ein weiterer Ansatz, Verteilungsmuster vergleichbar zu machen, ist die \(z\)-Transformation (auch Standardisierung, engl. standardization).

F√ľr jeden der Messwerte l√§sst sich ein entsprechender \(z\)-Wert mit dieser Formel errechnen:

\[ z=\frac{x-\bar{x}}{s} \tag{3.2} \]

Der \(z\)-Wert eines Werts \(x\) ist also der Abstand des Werts zum arithmetischen Mittel \(\bar{x}\) der Verteilung, ausgedr√ľckt im Verh√§ltnis zu ihrer Standardabweichung \(s\).

Die einzelnen \(z\)-Werte f√ľr die Luftdruckmessungen ergeben sich wie in Tabelle¬†3.1 dargestellt.

Tabelle 3.1: \(z\)-Transformation
\(x_i\) Berechnung \(z_i\)
1007,1 \(z_{1}=\frac{1007,1-999,37}{8,56}\) 0,90
1003,4 \(z_{2}=\frac{1003,4-999,37}{8,56}\) 0,47
990,7 \(z_{3}=\frac{990,7-999,37}{8,56}\) -1,01
994,2 \(z_{4}=\frac{994,2-999,37}{8,56}\) -0,60
1000,9 \(z_{5}=\frac{1000,9-999,37}{8,56}\) 0,18
993,0 \(z_{6}=\frac{993-999,37}{8,56}\) -0,74
1016,0 \(z_{7}=\frac{1016-999,37}{8,56}\) 1,94
983,9 \(z_{8}=\frac{983,9-999,37}{8,56}\) -1,81
1007,4 \(z_{9}=\frac{1007,4-999,37}{8,56}\) 0,94
997,8 \(z_{10}=\frac{997,8-999,37}{8,56}\) -0,18
997,9 \(z_{11}=\frac{997,9-999,37}{8,56}\) -0,17
1000,2 \(z_{12}=\frac{1000,2-999,37}{8,56}\) 0,10

Eine so \(z\)-transformierte Verteilung hat immer automatisch das arithmetische Mittel \(\bar{z}=0\) und die Standardabweichung \(s_z=1\). Außerdem haben \(z\)-Werte keine Maßeinheit. So kann jede Verteilung standardisiert und systematisch vergleichbar gemacht werden.

Softwarehinweis
In R kann eine empirische Verteilung mit dem Behfehl scale() \(z\)-transformiert werden.

Andersherum lassen sich \(z\)-Werte folgendermaßen wieder umwandeln in \(x\)-Werte:

\[ x=s\cdot z+\bar{x} \tag{3.3} \]

3.3 Normalverteilung

Dichtefunktionen verschiedener Normalverteilungen

Abbildung 3.1: Dichtefunktionen verschiedener Normalverteilungen

Die Normalverteilung (auch: Gau√üverteilung, engl. normal distribution) ist unimodal und symmetrisch. Die Normalverteilung ist eine theoretische Verteilung, f√ľr die bekannt ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit bestimmte Werte unter- und √ľberschritten werden bzw. mit welcher Wahrscheinlichkeit Werte in einem bestimmten Intervall liegen.

Die Dichtefunktion einer Normalverteilung hat eine markante Glockenform (s. Abbildungen 3.1 und 3.2). Die beiden Wendepunkte einer Normalverteilung (also dort, wo die Steigung zwischen zu- und abnehmend wechselt; oder mathematisch: wo die Ableitung der Dichtefunktion einen Extremwert annimmt) sind je eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt.

Die Dichtefunktion nimmt nie den Wert Null an ‚Äď Extremwerte sind also sehr selten bzw. unwahrscheinlich, aber nie unm√∂glich. Perfekte Normalverteilungen kommen in empirischen Beobachtungen nicht vor, sondern nur Ann√§herungen.

Da es sich um eine theoretische Verteilung handelt, ist die Normalverteilung zun√§chst insbesondere in Bezug auf die Grundgesamtheit interessant. Im Kontext der Grundgesamtheit wird das arithmetische Mittel mit \(\mu\) (M√ľ) und die Standardabweichung mit \(\sigma\) (Sigma) bezeichnet (s. Tabelle¬†3.2).

Tabelle 3.2: Bezeichnung von Parametern in Stichprobe und Grundgesamtheit
Parameter Stichprobe Grundgesamtheit
Anzahl Elemente \(n\) \(N\)
Arithmetisches Mittel \(\bar{x}\) \(\mu\)
Varianz \(s^2\) \(\sigma^2\)
Standardabweichung \(s\) \(\sigma\)

Jede Normalverteilung lässt sich anhand von zwei Parametern beschreiben: ihr arithmetisches Mittel und ihre Standardabweichung. Normalverteilte Grundgesamtheiten werden so notiert:

\[\begin{aligned} x \sim N(\mu,\enspace\sigma^2) \end{aligned} \tag{3.4}\]

Der Mittelwert \(\mu\) bestimmt die Lage der Kurve auf der x-Achse, die Varianz \(\sigma^2\) bestimmt die Stauchung der Kurve (je größer desto flacher). Es gibt also unendlich viele verschiedene Normalverteilungen (s. Abbildung 3.1).

3.4 Standardnormalverteilung

Die Standardnormalverteilung (engl. standard normal distribution) ist sozusagen das Grundmuster aller Normalverteilungen. Sie hat den Mittelwert \(\mu=0\) und die Standardabweichung \(\sigma=1\) (s. Abbildung 3.2).

Alle Normalverteilungen lassen sich durch die \(z\)-Transformation auf die Standardnormalverteilung standardisieren.

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

Abbildung 3.2: Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

3.5 Crash-Kurs Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer, nach bestimmten Vorschriften ausgef√ľhrter Versuch, dessen Ergebnis zufallsbedingt ist (d.¬†h. nicht eindeutig voraussagbar ist).

Jedem zuf√§lligen Ereignis \(A\) ist eine bestimmte Wahrscheinlichkeit des Auftretens (engl. probability) \(P(A)\) zugeordnet, die der Ungleichung \(0 \leq P(A) \leq 1\) gen√ľgt (d.¬†h. zwischen 0 und 1 liegt).

Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ergebnisses A ist \(P(A) = 1\). Hingegen w√ľrde \(P(B) = 0\) bedeuten, dass das Ereignis B nicht eintreten kann. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller m√∂glichen Ereignisse betr√§gt 1.

Der Additionssatz besagt: Die Wahrscheinlichkeit, dass eins von verschiedenen zufälligen, sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen eintritt, ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten.

Der Multiplikationssatz besagt: Die Wahrscheinlichkeit f√ľr das Eintreten zweier voneinander unabh√§ngiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten.

3.6 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen

Die Fläche unter einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (engl. probability density function) beträgt genau 1.

Das Perzentil \(x_p\) (engl. percentile) ist definiert als der Wert, unter dem der Anteil \(p\) der Verteilung liegt. In Sitzung 2 haben wir also bereits den Median \(x_{50\%}\) sowie die Angelpunkte \(Q_1=x_{25\%}\) und \(Q_3=x_{75\%}\) kennengelernt.

Die Fl√§che unter einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion innerhalb der Limits \(-\infty\) und \(x_p\) betr√§gt \(p\). F√ľr einen zuf√§lligen Wert \(x\) ist die Wahrscheinlichkeit \(P(x < x_p) = p\), dass er kleiner als \(x_p\) ausf√§llt. F√ľr die Standardnormalverteilung finden sich die \(p\)-Werte f√ľr positive \(z\) in der Wertetabelle in der Formelsammlung.2

3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Standardnormalverteilung

F√ľr die im Rest dieser Sitzung vorgestellten Verfahren m√ľssen folgende Voraussetzungen gegeben sein:

  • Die Grundgesamtheit ist (ann√§hernd) normalverteilt.
  • Arithmetisches Mittel \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) der Grundgesamtheit sind bekannt.

Die Verfahren sollen anhand eines Beispiels illustriert werden: Es sei bekannt, dass der Luftdruck auf dem Feldberg annähernd normalverteilt ist, und zwar mit dem arithmetischen Mittel \(\mu=1003\) und Varianz \(\sigma^2=73\). Graphisch stellt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wie in Abbildung 3.3 dar.

Theoretische Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Luftdrucks

Abbildung 3.3: Theoretische Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Luftdrucks

Wir können auch (analog zu Formel (3.4)) schreiben:

\[ x \sim N(1003,\enspace73) \]

Daraus ergibt sich f√ľr die Standardabweichung \(\sigma\):

\[\begin{aligned} \sigma&=\sqrt{\sigma^2}\\ &=\sqrt{73}\\ &\approx8{,}54 \end{aligned}\]

3.7.1 Unterschreitungswahrscheinlichkeit

Die einfachste Art der Fragestellung ist nun, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmter Wert \(x_p\) unterschritten wird.

Nehmen wir an, es sei gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt der Luftdruck weniger als 1015 hPa beträgt. Anders gesagt interessiert uns der Anteil der Fläche unter der Verteilung, der zwischen \(-\infty\) und \(x_p=1015\) liegt (s. Abbildung 3.4).

Unterschreitung eines Messwerts

Abbildung 3.4: Unterschreitung eines Messwerts

Um den entsprechenden Wert f√ľr \(P(x < x_p)\) (also die Wahrscheinlichkeit, dass ein zuf√§lliges \(x\) unser Perzentil \(x_p\) unterschreitet) in Erfahrung zu bringen, m√ľssen wir die Verteilung zun√§chst standardisieren. Der Wert \(z_p\) ergibt sich aus der Formel f√ľr die \(z\)-Transformation, diesmal jedoch mit \(\mu\) statt \(\bar{x}\) und \(\sigma\) statt \(s\), da es sich um die Grundgesamtheit handelt:

\[\begin{aligned} z_p &= \frac{x_p-\mu}{\sigma} \\[4pt] &\approx \frac{1015-1003}{8{,}54}\\[4pt] &\approx 1{,}41 \end{aligned} \]

Graphisch ist das standardisierte Perzentil in Abbildung 3.5 dargestellt.

Standardnormalverteilung des Luftdrucks

Abbildung 3.5: Standardnormalverteilung des Luftdrucks

Die Wertetabelle f√ľr die Standardnormalverteilung gibt f√ľr \(z\)-Werte die Wahrscheinlichkeit ihrer Unterschreitung in ener Normalverteilung an. Diese Wahrscheinlichkeit kann notiert werden als \(P(z < z_p)\).

Der Wertetabelle können wir den Wert \(P(z < 1{,}41) \approx 0{,}9207\) entnehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Luftdruck zu einem zufälligen Zeitpunkt weniger als 1015 hPA beträgt, ist somit 92,07%.

Softwarehinweis
In R lässt sich die Unterschreitungswahrscheinlichkeit eines \(z\)-Werts mit dem Befehl pnorm() ermitteln.

3.7.1.1 √úberschreitungswahrscheinlichkeit

Wird nach der Wahrscheinlichkeit der Überschreitung eines Werts gefragt, ist in anderen Worten die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zwischen \(x_p\) und \(\infty\) gemeint. Wir bleiben bei unserem Beispiel \(x_p=1015\) (s. Abbildung 3.6).

√úberschreitung eines Messwerts

Abbildung 3.6: √úberschreitung eines Messwerts

Hier können wir genauso wie bei der Unterschreitung \(z_p=1{,}41\) errechnen.

Jetzt stehen wir zunächst vor dem Problem, dass die \(p\)-Werte in der Tabelle immer die Wahrscheinlichkeit der Unterschreitung darstellen. Wir wissen jedoch: Die gesamte Fläche unter der Verteilung ist 1, und die Wahrscheinlichkeiten der Unter- und Überschreitung sind komplementär, d. H. einer von beiden Fällen tritt sicher (mit einer Wahrscheinlichkeit von 100%) ein. (Den Sonderfall \(x=x_p\) können wir bei stetigen Variablen vernachlässigen.)

Hieraus ergibt sich ganz allgemein:

\[ \begin{aligned} P(x \geq x_p) = 1-P(x<x_p) \end{aligned} \tag{3.5} \]

Und f√ľr unser Beispiel:

\[ \begin{aligned} P(x \geq 1015) &= 1-P(x < 1015) \\ &\approx1-P(z < 1,41)\\ &\approx1-0{,}9207\\ &= 0{,}0793 \end{aligned} \]

In 7,93% der F√§lle betr√§gt der Luftdruck also √ľber 1015¬†hPA.

3.7.1.2 Negativer \(z\)-Wert

Wenn nach der Unterschreitungswahrscheinlichkeit eines unterdurchschnittlichen Werts gefragt ist (z.¬†B. 990¬†hPA), dann ergibt sich ein negativer Wert f√ľr \(z_p\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} z_p &= \frac{x_p-\mu}{\sigma} \\[4pt] &= \frac{990-1003}{8{,}54} \\[4pt] &\approx -1{,}52 \end{aligned} \end{equation}\]

Die Wertetabelle enth√§lt keine \(p\) f√ľr negative \(z_p\). Da die Standardnormalverteilung jedoch um \(z=0\) symmetrisch ist, gilt ganz allgemein:

\[ \begin{aligned} P(z < -z_p) = 1 - P(z < z_p) \end{aligned} \tag{3.6} \]

F√ľr unser Beispiel ergibt sich (mit dem Wert \(P(z < 1,52) = 0{,}9357\) aus der Tabelle):

\[ \begin{aligned} P(z < -1,52) &= 1 - P(z < 1,52) \\ &\approx 1-0{,}9357 \\ &=0{,}0643 \end{aligned} \]

Ein Luftdruck von 990 hPa wird also nur in ca. 6,43% der Fälle unterschritten.

Softwarehinweis
Der Befehl pnorm() funktioniert auch mit negativen \(z\)-Werten.

3.7.1.3 Wert in einem Intervall

Nun wollen wir wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufälliger Meßwert zwischen 1005 und 1015 hPa liegt. Graphisch ist dies in Abbildung 3.7 aufbereitet.

Messwertintervall

Abbildung 3.7: Messwertintervall

Rechnerisch m√ľssen wir also von den (g√ľnstigen) F√§llen, in denen 1015 hPA unterschritten werden, noch jene (ung√ľnstige) F√§lle abziehen, in denen die 1005 hPA ebenfalls unterschritten werden.

Ganz allgemein hei√üt das f√ľr die Untergrenze \(x_u\) und die Obergrenze \(x_o\):

\[\begin{aligned} P(x_{u} \leq x < x_{o}) = P(x < x_{o}) - P(x < x_{u}) \end{aligned} \tag{3.7} \]

F√ľr unseren Fall ist \(x_u=1005\) und \(x_o=1015\). In den vorherigen Aufgaben haben wir \(z_o\approx1,41\) bereits ermittelt. Wir m√ľssen aber noch \(z_u\) ermitteln:

\[\begin{aligned} z_u &= \frac{x_u-\mu}{\sigma} \\[4pt] &= \frac{1005-1003}{8{,}54} \\[4pt] &\approx 0{,}23 \end{aligned}\]

Dann können wir die entsprechende Wahrscheinlichkeit berechnen, indem wir wieder die Werte aus der Wertetabelle einsetzen:

\[ \begin{aligned} P(1005 \leq x < 1015) &= P(x < 1015) - P(x < 1005) \\ &\approx P(z < 1{,}41) - P(z < 0{,}23) \\ &\approx 0{,}9207- 0{,}5910 \\ &= 0{,}3297 \end{aligned} \]

Der Luftdruck liegt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 32,97% zwischen 1005 und 1015 hPa.

3.7.1.4 Gesuchter Wert bei gegebener Wahrscheinlichkeit

Die Fragerichtung l√§sst sich umdrehen: Welche Marke wird beim Messen des Luftdrucks nur in 5% der F√§lle √ľberschritten?

5% √úberschreitungswahrscheinlichkeit entsprechen einer Unterschreitungswahrscheinlichkeit von 95%. Welcher Wert wird also mit 95% Wahrscheinlichkeit unterschritten?

Der Tabelle entnehmen wir, dass einer Unterschreitungswahrscheinlichkeit von 0,95 ein \(z\)-Wert zwischen 1,64 und 1,65 entspricht. Da es bei dieser Fragestellungen oft darum geht, einen kritischen Wert zu nennen, der nur in Ausnahmef√§llen √ľberschritten wird, nehmen wir hier √ľblicherweise den extremeren Wert, also \(z_{95\%}\approx 1,65\).

Mit der umgekehrten \(z\)-Transformation erhalten wir:

\[ \begin{aligned} x_{95\%}&=z_{95\%}\cdot \sigma + \mu \\ &\approx 1{,}65\cdot 8{,}54 + 1003\\ &\approx 1017{,}10 \end{aligned} \]

Die Marke von 1017,10¬†hPa wird also nur in 5% der F√§lle √ľberschritten.

Softwarehinweis
Das Perzentil f√ľr eine gegebene Unterschreitungswahrscheinlichkeit l√§sst sich in R mit qnorm() bestimmen.

3.7.1.5 Gesuchte Grenzwerte eines Intervalls

Eine √ľbliche Art der Fragestellung ist auch: Zwischen welchen beiden Werten liegen die mittleren 85% der F√§lle (s. Abbiddung¬†3.8)?

Die mittleren 85\% der Normalverteilung

Abbildung 3.8: Die mittleren 85% der Normalverteilung

Da die Verteilung symmetrisch ist, teilen sich die ung√ľnstigen 15% der F√§lle gleichm√§√üig an den oberen und unteren Rand der Verteilung auf. Die Obergrenze \(x_o\) ist also der Wert, der zu 7,5% √ľber- und damit zu 92,5% unterschritten wird.

Der Tabelle entnehmen wir den Wert \(z_o=z_{92,5\%}\approx1{,}44\).

Die Untergrenze ist entsprechend der Wert, der in 7,5% der Fälle unterschritten wird.

Der Wert f√ľr \(z_u=z_{7{,}5\%}\) ist in der Tabelle nicht enthalten. Weil die Verteilung aber symmetrisch ist, wissen wir uns zu helfen:

\[ \begin{aligned} z_u=z_{7{,}5\%}=-z_{92{,}5\%}\approx-1{,}44 \end{aligned} \]

Die absoluten Werte ergeben sich schließlich aus:

\[ \begin{aligned} x_u&=z_u\cdot \sigma + \mu \\ &\approx-1{,}44 \cdot 8{,}54 + 1003\\ &\approx990{,}70 \end{aligned} \]

Und:

\[ \begin{aligned} x_o&=z_o\cdot \sigma + \mu \\ &\approx1{,}44 \cdot 8{,}54 + 1003\\ & \approx 1015{,}30 \end{aligned} \]

Die mittleren 85% der Messwerte liegen also zwischen 990,7 und 1015,3 hPa.

Tipps zur Vertiefung

3.7.2 Variationskoeffizient

3.7.3 \(z\)-Transformation

3.7.4 Normalverteilung

3.7.5 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

√úbungsaufgaben

3.7.6 Aufgabe 3-1

zur Lösung

  1. F√ľhren Sie eine \(z\)-Transformation der folgenden Verteilung durch:

    -16,93  -16,09  -10,97  -3,77  -25,55  -20,57  -23,61  -25,9  -27,08
  2. Sie kennen das arithmetische Mittel (221,54) und die Varianz (13,02) einer Verteilung. Welche \(x\)-Werte entsprechen diesen \(z\)-Werten?

    0,9  -1,4  1,12  -0,33  2,22  0,15  2,87  0,4  -1,54  0,13  -0,17  0,68

3.7.7 Aufgabe 3-2

zur Lösung

Gegeben sei eine Normalverteilung beschrieben durch:

\[x \sim N(32{,}2,\enspace19{,}36)\]

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden die folgenden Werte unterschritten?

    40,63  20,77  33,41  44,95  41,91  32,95
  2. Welche Werte werden jeweils mit der folgenden Wahrscheinlichkeit √ľber(!)schritten?

    1,5%  2,5%  5%  13%  50%  90%  99%  99,5%
  3. In welchem Bereich liegen die mittleren 95% der Werte?

  4. Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Wert zwischen 30 und 40 liegt?

3.7.8 Aufgabe 3-3

zur Lösung

Deiche werden durch Wasserdruck bei Hochwasser belastet und dadurch beschädigt. Bei einem 12 m hohen Deich gilt als kritische Marke ein Wasserstand von 10 m. Die jährlichen Höchstwasserstände des Flusses sind normalverteilt mit einem Mittelwert von 9,01 m und einer Standardabweichung von 2,23 m.

In den folgenden Teilaufgaben beantworten wir Schritt f√ľr Schritt die Frage, wie wahrscheinlich es (f√ľr ein beliebiges Jahr) ist, dass der Deich das j√§hrliche Hochwasser ohne Besch√§digung √ľbersteht, d.¬†h. dass ein H√∂chstwasserstand von 10¬†m oder weniger eintritt.

  1. Zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (ganz grob, ohne \(y\)-Achse).
  2. Markieren Sie den kritischen Wert 10 m.
  3. Welchem \(z\)-Wert entspricht die kritische Marke von 10 ?
  4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt der Deich in einem gegebenen Jahr unbeschädigt (Höchstwasserstand unter der kritischen Marke von 10 m)?

3.7.9 Aufgabe 3-4

zur Lösung

Wir bleiben beim Deich aus Aufgabe 3.

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Deich besch√§digt (Wasserstand √ľber 10¬†m)?
  2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Deich nicht nur besch√§digt, sondern l√§uft √ľber (Wasserstand √ľber 12¬†m)?
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Deich besch√§digt, l√§uft aber nicht √ľber (Wasserstand zwischen 10 und 12¬†m)?
  4. In welchen Grenzen liegen die mittleren 80% der Hochwasserstände?

3.7.10 Aufgabe 3-5

zur Lösung

Es ist ein neuer Deich zu bauen, der so sicher sein soll, dass er nur alle 200 Jahre vom Hochwasser √ľbertreten wird.

  1. Welcher Wahrscheinlichkeitswert \(p=P(x < x_p)\) ist anzuwenden, d. h. wie wahrscheinlich ist die Unterschreitung eines zweihundertjährigen Hochwassers?
  2. Mit welchem \(z\)-Wert korrespondiert der gesuchte Wert \(x_p\)?
  3. Wie hoch muss dieser Deich sein? (Welcher Wert \(x_p\) entspricht diesem \(z_p\)?)

3.7.11 Aufgabe 3-6

zur Lösung

Die jährlichen Niederschlagsmengen in Mittelstedt betragen im Durchschnitt 400 mm bei annähernder Normalverteilung und einer Standardabweichung von 100 mm.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 500 mm Niederschlag fallen?
  2. Wie oft pro hundert Jahre kann mit weniger als 200 mm Niederschlag gerechnet werden?
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen zwischen 200 und 550 mm Niederschlag?
  4. Welche Niederschlagsmenge wird wahrscheinlich in nur 2 von 100 Jahren √ľbertroffen?
  5. In welchen Grenzen liegen die mittleren 75% der jährlichen Niederschlagsmenge?

3.7.12 Aufgabe 3-7

zur Lösung

Errechnen Sie f√ľr die Verteilungen in Aufgabe 5 aus Sitzung 2 jeweils den Variationskoeffizienten.

Quellenverzeichnis

Bahrenberg, Gerhard, Ernst Giese und Josef Nipper. 2010. Statistische Methoden in der Geographie. Bd. 1. Univariate und bivariate Statistik. Stuttgart: Bornträger.
Benninghaus, Hans. 2007. Deskriptive Statistik. Eine Einf√ľhrung f√ľr Sozialwissenschaftler. Wiesbaden: VS Verlag.
Bortz, J√ľrgen und Christof Schuster. 2010. Statistik f√ľr Human- und Sozialwissenschaftler. Berlin: Springer.
Burt, James E. und Gerald M. Barber. 1996. Elementary statistics for geographers. 2nd ed. New York: Guilford Press.
Lange, Norbert de und Josef Nipper. 2018. Quantitative Methodik in der Geographie. UTB Geographie, Methoden, Statistische Verfahren 4933. Paderborn: Ferdinand Schöningh.

  1. Manchmal wird die Funktion \(z_p \rightarrow P(z < z_p)\) f√ľr normalverteilte Werte auch mit \(\Phi(z)\) bezeichnet (z.¬†B. in Bahrenberg, Giese und Nipper 2010).‚Ü©Ôłé