4. Methodik

Zu Beginn seien einige Grunddefinitionen der statistischen Zeitreihenanalyse aufgelistet. Als Zeitreihe bezeichnet man ein Datenkollektiv $x_{t},\;t=1\ldots n$, das sich auf diskrete Zeiten $T_{t}$ bezieht [44]. Hierbei ist $t\in\mathcal{Z}$ der sog. Zeitschrittzähler. Die Zeitschritte werden im folgenden als äquidistant vorausgesetzt, d.h. $\Delta T = T_{t+1}-T_t$ = const. Der Mittelwert $\bar{x}$ der Zeitreihe $x(T)$ ist gegeben durch:

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^nx_t\quad.$$ (4.1)

Die Standardabweichung $s_x$ der Zeitreihe $x_t$, die die mittlere quadratische Abweichung der Stichproben vom Mittelwert beschreibt, ist gegeben durch^4.1:

$$s_x=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^n x'^2_t} \qquad\mbox{, mit}\quad x'_t=x_t-\bar{x}\quad.$$ (4.2)

Das Quadrat der Standardabweichung $s^2$ wird Varianz genannt. Betrachtet man nun zwei Zeitreihen $x_t$ und $y_t$, so ist deren Kovarianz definiert als:

$$s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^n x'_t\, y'_t\quad.$$ (4.3)

Sie ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen den betrachteten Zeitreihen.

Normiert man die Kovarianz mit den Standardabweichungen der beiden Zeitreihen $s_x$ bzw. $s_y$, so erhält man den linearen Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson [40]:

$$r_{xy}=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}\qquad\mbox{,}\quad -1\le r_{xy} \le 1\quad.$$ (4.4)

Er gibt die Güte des linearen Zusammenhangs zwischen den beiden betrachteten Reihen an. Für $r=1$ bzw. $r=-1$ sind die Zeitreihen maximal linear korreliert bzw. antikorreliert.

Interessiert man sich für den linearen Zusammenhang aufeinanderfolgender Werte einer Zeitreihe, so kann man diese gegen sich selbst um $\tau$ Zeitschritte $\Delta T$ verschieben und die Kovarianzen der verschobenen Zeitreihen berechnen. Man erhält somit die sog. Autokovarianzfunktion zur Verschiebung $\tau$:

$$s_{xx}(\tau)=\frac{1}{n-\tau}\sum_{t=1}^{n-\tau}x'_t\, x'_{t+\tau}\qquad\mbox{,}\quad\tau=0\ldots n-1\quad.$$ (4.5)

Man sieht, daß $s_{xx}(0)=s^2$ also gleich der Varianz der Zeitreihe ist. Analog lassen sich nun Kreuzkovarianzfunktionen zwischen zwei unterschiedlichen Zeitreihen $x_t,y_t$ definieren, wobei hier zwischen den zwei Möglichkeiten der Verschiebung ($x$ wird festgehalten, $y$ verschoben und umgekehrt) unterschieden werden kann:

$$s_{xy}(\tau)=\frac{1}{n-\tau}\sum_{t=1}^{n-\tau}x'_t\, y'_{t... ...au)=\frac{1}{n-\tau}\sum_{t=1}^{n-\tau}y'_t\,x'_{t+\tau}\quad.$$ (4.6)

Die oben definierten Größen werden bei der weitergehenden Beschreibung der Analysemethoden benötigt und sind hiermit eingeführt.